Ensemble et champ des complexes
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme algébrique $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont des réels et $i$ est tel que $i^2 = -1$. Trois cas sont à relever :
- si $b = 0$, alors $z = a$ est un réel ;
- si $b \neq 0$, alors $z$ est dit complexe imaginaire ;
- si $a = 0$ et $b \neq 0$, alors $z = bi$ est dit complexe imaginaire pur.
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes. La partie réelle d'un nombre complexe $z$ est $Re(z) = a$ et sa partie imaginaire est $Im(z) = b$. Le nombre complexe $\overline{z} = a - bi$ est le conjugué de $z$. Deux propriétés importantes des nombres complexes sont :
- Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont égales : $$a + bi = c + di \iff a = c \textrm{ et } b = d.$$
- L'ensemble des nombres réels est une partie de l'ensemble des nombres complexes : $$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}.$$
On peut définir l'addition et la multiplication de deux nombres complexes $a + bi$ et $c + di$ comme suit :
- $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$ ;
- $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.
Étant donné ces deux opérations, on peut caractériser la structure algébrique de l'ensemble des nombres complexes par les propriétés suivantes :
- Les opérations dans $\mathbb{C}$ prolongent les opérations dans $\mathbb{R}$ de même nom.
-
L'ensemble $\mathbb{C}$ muni des opérations d'addition et de multiplication et de multiplication par les réels $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ est un champ et $(\mathbb{R}, \mathbb{C}, +)$ est un espace vectoriel. En particulier :
- $0$ est neutre pour l'addition ;
- $-a - bi$ est l'opposé de $a + bi$ ;
- $1$ est neutre pour la multiplication ;
- $\displaystyle \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$ est l'inverse de $a + bi$.
- Le produit de deux nombres complexes conjugués est un réel positif qui vaut : $$(a + bi) (a - bi) = a^2 + b^2.$$
Racine carrée
Le nombre complexe $u$ est une racine carrée du nombre complexe $z$ si et seulement si $u^2 = z$. Tout nombre complexe admet donc toujours deux racines carrées complexes.
Équation du second degré
Dans $\mathbb{C}$, toute équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$ admet deux racines. On peut se ramener à :
$$\left( z + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$$Soit $\Delta = b^2 - 4ac$. Trois situations sont possibles :
- si $\Delta$ est un réel positif, alors l'équation admet deux racines réelles (distinctes ou égales) : $$\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \textrm{ et } \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} ;$$
- si $\Delta$ est un réel strictement négatif, alors l'équation admet deux racines complexes : $$\frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \textrm{ et } \frac{-b -i\sqrt{-\Delta}}{2a} ;$$
- si $\Delta$ est un complexe, l'équation admet deux racines complexes où $z_1$ et $z_2$ sont les racines carrées complexes de $\Delta$ : $$\frac{-b + z_1}{2a} \textrm{ et } \frac{-b + z_2}{2a}.$$
Représentation géométrique
La correspondance $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C} : (a, b) \mapsto a + bi$ associe à chaque couple de réels $(a, b)$ un et un seul nombre complexe $a + bi$ et inversement, c'est une bijection.
On peut dès lors représenter tout nombre complexe par le point $P$ de coordonnées $(a, b)$ dans le plan où l'axe des abscisses est l'axe réel et celui des ordonnées l'axe imaginaire. Ce plan s'appelle le plan de Gauss :
Le point $P$ est appelé point-image du nombre complexe $a + bi$, et ce nombre complexe est appelé affixe du point $P$.