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Continuité

On va considérer des fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ définies sur un intervalle, une demi-droite ou la réunion de telles parties de $\mathbb{R}$.

Continuité en un point

La fonction $f$ est continue en $a$ si $f(x)$ peut être rendu aussi proche que l'on veut de $f(a)$, en prenant $x$ assez proche de $a$ :

$$f \textrm{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a),$$

ce qui signifie aussi que pour tout réel strictement positif $\varepsilon$, il est possible déterminer un réel strictement positif $\delta$ tel que :

$$|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon.$$

On peut résumer cela en remarquant qu'il faut que les trois conditions suivantes soient simultanément satisfaites :

  1. $f$ est définie en $a$ ;
  2. la limite de $f$ en $a$ existe ;
  3. $f(x) = f(a)$.

La fonction $f$ est discontinue en $a$ si et seulement si elle n'est pas continue en $a$. Il suffit pour cela qu'au moins l'une des trois conditions suivantes soit satisfaite :

  1. $f$ n'est pas définie en $a$ ;
  2. la limite de $f$ en $a$ n'existe pas ;
  3. la limite de $f$ en $a$, bien qu'existant, ne vaut pas $f(a)$.

Enfin, une fonction est continue à gauche (resp. continue à droite) en $a$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ resp. $\displaystyle \Big(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\Big)$.

Propriété

Une fonction est continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ si elle est continue en tout point de l'intervalle. Le domaine de continuité de $f$, noté $\textrm{dom}_c~f$, est l'ensemble des réels en lesquels $f$ est continue.

  1. Les fonctions usuelles $k$ (avec $k \in \mathbb{R}$), $x$, $\sqrt[n]{x}$ (avec $n \in \mathbb{N}_0$), $|x|$, $1 / x$, $\sin x$, $\cos x$, sont continues en tout réel $a$ de leur domaine.
  2. Soient les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto g(x)$ continues en $a$, alors les fonctions $f + g$, $f - g$, $f \cdot g$ sont continues en $a$ et la fonction $\frac{f}{g}$ est continue en $a$ si $g(a) \neq 0$.
  3. Soient les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : y \mapsto f(y)$ et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto g(x)$ telles que $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$, alors $f \circ g$ est continue en $a$.
  4. Soit la fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ continue à droite et à gauche en $a$, alors la fonction $f$ est continue en $a$.

Racine d'une fonction

Les deux propriétés suivantes permettent de mettre en place une technique de recherche approchée de racines d'une équation :

  1. Soit la fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ continue sur $[a, b]$ et $p$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un réel $c$ de $[a, b]$ tel que $f(c) = p$ (théorème des valeurs intermédiaires).
  2. Soit la fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ continue sur $[a, b]$ et tel que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signe contraire, alors il existe au moins une racine $c$ de $f$ sur $[a, b]$.