Limite d'une suite
Chercher la limite d'une suite $(u_n)$ consiste à déterminer le comportement des éléments $u_n$ de la suite lorsque le naturel $n$ augmente sans cesse. Cette limite est notée $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$. Trois cas sont possibles :
- La suite $(u_n)$ converge vers le réel $u$ lorsque la différence $|u_n - u|$ tend vers zéro lorsque $n$ tend vers l'infini : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = u.$$
- La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) si $u_n$ croit (resp. décroit) sans borne lorsque $n$ tend vers l'infini : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \qquad \left( \textrm{resp. } \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \right).$$
- La suite $(u_n)$ n'a pas de limite dans les autres cas.
Voici quelques propriétés que l'on peut établir concernant des suites numériques :
- Si $a$ est un réel et $n$ est un naturel, alors : $$\lim_{n \to +\infty} a^n = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \textrm{lorsque } 0 < a < 1 \\ 1, & \textrm{lorsque } a = 1 \\ +\infty, & \textrm{lorsque } a > 1. \end{array} \right.$$
- Quel que soit le réel $a$ strictement compris entre $0$ et $1$ : $$\lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 0}^n a^i = \lim_{n \to +\infty} (1 + a + a^2 + ... + a^n) = \frac{1}{1 - a}.$$
Et voici enfin quelques autres limites de suites particulières, à connaitre, valables pour tout $p > 0$ :
- $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty$ ;
- $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0$ ;
- $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{p} = 1$.
Voici enfin trois limites de suites, relatives à la notion de croissance rapide, pour $a > 1$ et $p > 0$ :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^p}{a^n} = 0, \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{n^n} = 0.$$