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Intégrale définie

Soit une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ continue sur $[a, b]$. L'intervalle $[a, b]$ est divisé en $n$ parties de mêmes longueurs $\Delta x = (b - a) / n$. On note par $f(\alpha_i)$ la plus grande valeur prise par $f$ dans le $i$e partie, et $f(\beta_i)$ la plus petite valeur prise par $f$ sur la $i$e partie. On note :

  • Somme supérieure de Darboux : $$\overline{S_n} = \sum_{i = 1}^n f(\alpha_i) \Delta x.$$
  • Somme inférieure de Darboux : $$\underline{S_n} = \sum_{i = 1}^n f(\beta_i) \Delta x.$$

Si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \underline{S_n} = \lim_{n \to +\infty} \overline{S_n}$, alors :

  • $f$ est intégrable (au sens de Riemann) sur $[a, b]$ ;
  • cette limite est l'intégrale définie de $f$ entre les bornes $a$ et $b$, qui est notée $\displaystyle\int_a^b f(x) \,dx$.

On peut généraliser ce résultat, en divisant l'intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de longueurs respectives $\Delta x_i$ et en choisissant $\xi_i$, une valeur quelconque choisie dans la $i$e partie. Si $L = \lim_{n \to +\infty} \underline{S_n} = \lim_{n \to +\infty} \overline{S_n}$, alors on a que toutes les sommes $\sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$ ont aussi $L$ pour limite lorsque $n \to +\infty$ et si chaque $\Delta x_i$ tend vers zéro :

$$\int_a^b f(x) \,dx = \lim_{\begin{array}{l} \scriptstyle n \to +\infty \\[-1mm] \scriptstyle \Delta x_i \to 0 \end{array}} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i.$$

Plusieurs propriétés peuvent être établies pour le calcul des intégrales définies :

  1. Toute fonction continue sur $[a, b]$ est intégrable sur $[a, b]$.
  2. La permutation des bornes de l'intégrale définie d'une fonction intégrable change le signe de cette intégrale : $$\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx.$$
  3. Pour toute fonction $f$ intégrable : $$\int_a^a f(x) \,dx = 0.$$
  4. Si $f$ est intégrable sur $[a, b]$, alors pour tout réel $c$ dans cet l'intervalle $[a, b]$ : $$\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx.$$

Intégrale définie et primitive

Les trois propriétés suivantes font le lien entre primitive et intégrale définie, et permettent de calculer cette dernière :

  1. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $m$ (resp. $M$) est la plus petite (resp. plus grande) valeur prise par $f$ sur $[a, b]$, alors :
    • $\displaystyle m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \,dx \leq M(b - a)$ ;
    • il existe un réel $c$ dans $[a, b]$ tel que : $$\int_a^b f(x) \,dx = f(c) (b - a).$$
  2. Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors :
    • la fonction $\displaystyle F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \int_a^x f(t) \,dt$ est dérivable sur $[a, b]$ ;
    • la dérivée de $F$ est $f$ (c'est-à-dire $F$ est une primitive de $f$).
  3. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors pour tout $x$ dans $[a, b]$ : $$\int_a^x f(t) \,dt = F(x) - F(a).$$ En particulier, on obtient la formule de Newton-Leibniz : $$\int_a^b f(t) \,dt = \Big[ F(t) \Big]_a^b = F(b) - F(a).$$

Technique d'intégration

Les deux techniques d'intégration applicables aux intégrales indéfinies sont également valables pour les intégrales définies :

  1. Intégration par partie : $$\int_a^b f(x) g'(x) \,dx = \Big[ f(x) g(x) \Big]_a^b - \int_a^b f'(x) g(x) \,dx.$$
  2. Intégration par substitution : $$\int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \,dx = \int_a^b f(g(t)) g'(t) \,dt \quad\textrm{avec } x = g(t).$$