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Opération

Cette section présente plusieurs opérations qu'il est possible d'effectuer sur des fonctions.

Comparaison

Deux fonctions $f$ et $g$ sont égales si :

  • elles ont le même domaine ;
  • pour tout réel $x$ de leur domaine commun, $f(x) = g(x)$.

Deux fonctions $f$ et $g$ peuvent être liées de deux manières différentes :

  1. La fonction $g$ est une restriction de la fonction $f$ sur $A$ si pour tout réel $x \in A$, $f(x) = g(x)$.
  2. La fonction $f$ est une prolongée de la fonction $g$ sur $A \cup \{ a \}$ si :
    • pour tout réel $x \in A$, $f(x) = g(x)$ ;
    • $f$ est définie en $a$ et $g$ n'est pas définie en $a$.

Voici plusieurs propriétés concernant les valeurs prises par une fonction :

  1. Toute fonction $f$ définie sur $I$, intervalle ou demi-droite de $\mathbb{R}$ est :
    • positive (resp. négative) sur $I$ si pour tout $x \in I$, $f(x) \geq 0$ (resp. $f(x) \leq 0$) ;
    • strictement positive (resp. strictement négative) sur $I$ si pour tout $x \in I$, $f(x) > 0$ (resp. $f(x) < 0$).
  2. Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $I$, intervalle ou demi-droite de $\mathbb{R}$. Sur $I$, on note :
    • $f \leq g$ (resp. $f \geq g$) et on dit que $f$ est inférieure (resp. supérieure) à $g$ si pour tout $x \in I$, $f(x) \leq g(x)$ (resp. $f(x) \geq g(x)$) ;
    • $f < g$ (resp. $f > g$) et on dit que $f$ est strictement inférieure (resp. strictement supérieure) à $g$ si pour tout $x \in I$, $f(x) < g(x)$ (resp. $f(x) > g(x)$) ;
  3. Soit la fonction $f$ définie sur $I$, intervalle ou demi-droite de $\mathbb{R}$. Sur $I$, la fonction $f$ est :
    • majorée s'il existe un réel $M$ nommé majorant de $f$ sur $I$ tel que pour tout $x \in I$, $f(x) \leq M$ ;
    • minorée s'il existe un réel $m$ nommé minorant de $f$ sur $I$ tel que pour tout $x \in I$, $m \leq f(x)$ ;
    • bornée si elle est à la fois majorée et minorée sur $I$.

Somme et différence

Soient les fonctions $f$ et $g$ :

  • la fonction somme de $f$ et de $g$, notée $f + g$, est la fonction définie par $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ ;
  • la fonction différence entre $f$ et $g$, notée $f - g$, est la fonction définie par $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$.

Le domaine de ces fonctions somme et différence est l'intersection des domaines de $f$ et de $g$.

Produit et quotient

Soient les fonctions $f$ et $g$ :

  • la fonction produit de $f$ et de $g$, notée $f \cdot g$, est la fonction définie par $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ ;
  • la fonction quotient de $f$ par $g$, notée $\frac{f}{g}$, est la fonction définie par $\displaystyle\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.

Le domaine de la fonction produit est l'intersection des domaines de $f$ et de $g$. Celui de la fonction quotient est également l'intersection des domaines de $f$ et de $g$, mais privé des racines de $g$.

Intersection de graphes

Soient les fonctions $f$ et $g$. Pour trouver la ou les intersections des graphes de $f$ et de $g$, il suffit de résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ sur l'intervalle $I$ définit comme étant l'intersection des domaines de $f$ et $g$.

Composée de deux fonctions

Soient les fonctions $f$ et $g$. La fonction composée, notée $f \circ g$ et lue « $f$ rond $g$ » ou « $f$ après $g$ », est la fonction définie par $(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$.

Le domaine de $f \circ g$ est constitué des valeurs de $x$ appartenant au domaine de $g$ telles que $g(x)$ appartienne au domaine de $f$.

Décomposer une fonction $f(x)$ consiste à déterminer deux fonctions définies par $z = g(x)$ et $y = h(z)$ telles que $f(x) = h\big(g(x)\big)$, c'est-à-dire telles que $f = h \circ g$. Une telle décomposition n'est pas forcément unique.

Réciproque d'une fonction

L'ensemble des valeurs prises par une fonction $f$ est son ensemble image, noté $\textrm{im}~f$ et définit par :

$$\textrm{im}~f = \{ f(x) \mid x \in \textrm{dom}~f \}.$$

La réciproque de la fonction $y = f(x)$ est la relation qui fait correspondre à chaque $y$ obtenu par $f$, le ou les $x$ dont il est l'image. Deux propriétés caractérisent la réciproque :

  1. tout réel de $\textrm{dom}~f$ devient un réel de l'ensemble image par la réciproque, et tout réel de $\textrm{im}~f$ devient un réel du domaine de la réciproque ;
  2. les graphes cartésiens de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.

En toute généralité, la réciproque n'est pas une fonction. Une fonction $f$ est injective lorsqu'un réel quelconque est l'image d'au plus un réel du domaine de $f$ :

$$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2.$$

La réciproque d'une fonction $f$ est une fonction si et seulement si $f$ est injective. Dans ce cas, la réciproque est notée $f^{-1}$ et on a :

$$\textrm{dom}~f^{-1} = \textrm{im}~f \qquad\textrm{et}\qquad \textrm{im}~f^{-1} = \textrm{dom}~f.$$