Dérivée première et seconde
On va utiliser les dérivées pour analyser des fonctions. La dérivée première permet d'obtenir de l'information quant aux variations de la fonction afin d'esquisser son graphe. La dérivée seconds permet d'obtenir de l'information sur les concavités de la fonction.
Variation
La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est appelée dérivée première de $f$. On peut l'utiliser pour trouver les minimums et maximums de $f$ :
- Le réel $f(a)$ est un minimum local (resp. maximum local) de $f$ si et seulement si il existe un intervalle $]a - r, a + r[$ inclus dans $\textrm{dom}~f$ tel que pour tout réel de cet intervalle, $f(x) \geq f(a)$ (resp. $f(x) \leq f(a)$).
- Le réel $f(a)$ est un minimum absolu (resp. maximum absolu) de $f$ si et seulement si en tout point $x$ de $\textrm{dom}~f$, $f(x) \geq f(a)$ (resp. $f(x) \leq f(a)$).
Voici plusieurs propriétés permettant d'analyser le signe d'une fonction, et ainsi pouvoir l'esquisser sans pour autant devoir calculer ses valeurs en tout point de son domaine, en supposant $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$ :
- Si $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $[a, b]$, alors pour tout $x \in ]a, b[$ : $$f'(x) \geq 0 \quad(\textrm{resp. } f'(x) \leq 0).$$
- Si $f(c)$ est un maximum ou un minimum pour un $c \in ]a, b[$, alors : $$f'(c) = 0.$$
- Il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que : $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a},$$ il s'agit du théorème de Lagrange ou des accroissements finis.
- Si $f(a) = f(b)$, alors il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que : $$f'(c) = 0,$$ il s'agit du théorème de Rolle.
- Si pour tout $x \in ]a, b[$, $f'(x) > 0$ (resp. $f'(x) < 0$), alors $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur $]a, b[$.
- Si $c$ est un réel de $]a, b[$ avec $f'(c) = 0$, et pour tout $x \in ]a, c[$, on a $f'(x) > 0$ (resp. $f'(x) < 0$) et pour tout $x \in ]c, b[$, on a $f'(x) < 0$ (resp. $f'(x) > 0$), alors $f$ admet un minimum local (resp. maximum local) égal à $f(c)$.
Concavité
La dérivée $f''$ de la fonction $f'$, elle même dérivée première de la fonction $f$, est appelée dérivée seconde de $f$. On peut l'utiliser pour trouver la concavité d'une courbe, tournée vers le haut ou vers le bas. Un point d'inflexion est un point en lequel une seule tangente existe et la concavité change de sens.
Voici plusieurs propriétés permettant d'utiliser la dérivée seconde pour analyser une fonction, en supposant $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, et avec $f'$ dérivable sur $]a, b[$ :
- Si pour tout $x \in ]a, b[$, $f''(x) > 0$ (resp. $f''(x) < 0$), alors le graphe de $f$ tourne sa concavité vers le haut (resp. vers le bas) sur $]a, b[$.
- Si $c$ est un réel de $]a, b[$ avec $f''(c) = 0$, et pour tout $x \in ]a, c[$, on a $f''(x) < 0$ (resp. $f''(x) > 0$) et pour tout $x \in ]c, b[$, on a $f''(x) < 0$ (resp. $f''(x) > 0$), alors le graphe de $f$ présente un point d'inflexion à tangente non verticale en $(c, f(c))$.
- Si $f$ et $f'$ sont dérivables sur $]a, b[ \setminus \{ c \}$ et $\displaystyle \lim_{x \to c} f'(x)$ est soit $-\infty$, soit $+\infty$, alors le graphe de $f$ présente un point d'inflexion à tangente verticale en $(c, f(c))$.