Application de la dérivée
Voyons deux applications principales utilisant la notion de dérivée.
Problème d'optimisation
Les problèmes d'optimisation sont des problèmes dont le but consiste à trouver la valeur maximale ou minimale d'une grandeur définie par une fonction.
Règle de l'hospital – Bernouilli
Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques d'une variable réelle telle que :
- $\displaystyle \lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x \to a \\ \textrm{ou } -\infty \\ \textrm{ou } +\infty\end{array}} \frac{f(x)}{g(x)}$ présente une indétermination du type ``$\frac{0}{0}$'' ou ``$\frac{\infty}{\infty}$'',
- il existe un intervalle ouvert sur lequel $f$ et $g$ sont dérivables, $f'$ et $g'$ ne sont ni simultanément nulles, ni simultanément infinies, sauf éventuellement en $a$,
- $\displaystyle \lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x \to a \\ \textrm{ou } -\infty \\ \textrm{ou } +\infty\end{array}} \frac{f(x)}{g(x)}$ existe (elle est réelle ou infinie),
alors $\displaystyle \lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x \to a \\ \textrm{ou } -\infty \\ \textrm{ou } +\infty\end{array}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x \to a \\ \textrm{ou } -\infty \\ \textrm{ou } +\infty\end{array}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.