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Parabole

Une parabole est le lieu des points du plan situés à égale distance d'un point donné $F$, appelé foyer, et d'une droite donnée $d$, appelée droite directrice, qui ne comprend pas le point donné. La droite perpendiculaire à la droite directrice issue du foyer est un axe de symétrie de la parabole, et son intersection avec celle-ci est son sommet $S$.

L'équation de la parabole $\mathbb{P}$ de foyer $F(0, p/2)$ et de droite directrice $d \equiv y = -p/2$ est :

$$x^2 = 2py \quad\textrm{ou}\quad y = \frac{x^2}{2p},$$

avec pour axe de symétrie $x = 0$ et pour sommet $S(0, 0)$. Par exemple, lorsque $p = 1$, on obtient la parabole d'équation $y = x^2$.

De manière générale, le graphe du trinôme du second degré $ax^2 + bx + c$ est une parabole dont le sommet est :

$$S\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a}\right),$$

d'axe de symétrie $x = -b/2a$. Si $a > 0$, le sommet est le point le plus bas et si $a < 0$, il est le point le plus haut.