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Droite et plan

Voici quelques définitions, où colinéaire signifie appartenant à la même droite et coplanaire appartenant au même plan :

  1. Toute droite $d$ de l'espace est déterminée par deux points distincts $A$ et $B$ : $d = AB$.
  2. Tout plan $\pi$ de l'espace est déterminé :
    • par trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ : $\pi = ABC$ ;
    • par deux droites sécantes $AB$ et $BC$ : $\pi = (AB, BC)$ ;
    • par deux droites parallèles distinctes $AB$ et $CD$ : $\pi = (AB, CD)$.
  3. Toute droite $d$ ayant deux points communs avec un plan $\pi$ est entièrement incluse dans le plan et on note $d \subset \pi$ ;
  4. Deux droites distinctes $a$ et $b$ sont :
    • sécantes si elles ont un seul point commun $P$ et sont coplanaires : $a \cup b = \{ P \}$ ;
    • parallèles si elles n'ont aucun point en commun et sont coplanaires ;
    • gauches si elles n'ont aucun point en commun et ne sont pas coplanaires.
  5. Toute droite $d$ est parallèle à elle-même : $d \parallel d$.
  6. Deux plans distincts $\alpha$ et $\beta$ sont :
    • sécants s'ils ont une seule droite en commun $d$ : $\alpha \cup \beta = d$ ;
    • parallèles s'ils n'ont aucun point en commun.
  7. Tout plan $\pi$ est parallèle à lui-même : $\pi \parallel \pi$.
  8. Une droite $d$ et un plan $\pi$ ne comprenant pas la droite sont :
    • sécants s'ils ont un seul point en commun $P$ : $d \cup \pi = \{ P \}$ ;
    • parallèles s'ils n'ont aucun point en commun.
  9. Toute droite $d$ incluse dans un plan $\pi$ est parallèle à ce plan : $d \parallel \pi$.
  10. Dans tout plan de l'espace, toute propriété de la géométrie plane est d'application.

Point de percée d'une droite

Le point de percée d'une droite dans un plan est l'unique point commun entre la droite et la plan. Ce point n'existe que si la droite n'est pas parallèle au plan.

Une propriété immédiate est que le point de percée $P$ d'une droite $d$ dans un plan $\pi$ appartient à l'intersection entre le plan $\pi$ et n'importe quel plan contenant la droite $d$. La figure suivante montre un exemple de plan contenant $d$, et donc l'intersection avec $\pi$ contient $P$.

Point de percée

Pour trouver le point de percée d'une droite $d$ dans un plan $\pi$, il suffit donc de suivre les étapes suivantes :

  1. Choisir un plan quelconque $\pi'$ contenant la droite $d$ ;
  2. Déterminer la droite $d'$, intersection entre $\pi$ et $\pi'$ ;
  3. Déterminer l'intersection entre $d$ et $d'$, ce qui donnera le point de percée que l'on cherche.