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Homothétie du plan et de l'espace

L'homothétie de centre $C$ et de rapport $r$ est la transformation $h$ du plan ou de l'espace, notée $h_{C,r}$, qui à chaque point $X$ fait correspondre le point $X'$ tel que :

  • $C$, $X$ et $X'$ sont alignés ;
  • $\overrightarrow{CX'} = r \cdot \overrightarrow{CX}$.

L'homothétie de centre $C$ et de rapport nul est celle qui applique tout point du plan ou de l'espace sur le centre $C$. Plusieurs propriétés peuvent être établies sur cette transformation du plan ou de l'espace :

  1. Toute homothétie est entièrement déterminée lorsqu'on donne son centre, un point et l'image de ce point.
  2. Par toute homothétie, l'image du centre est le centre.
  3. Toute homothétie de rapport non nul est une transformation bijective.
  4. Par toute homothétie de rapport non nul, l'image d'une droite (resp. d'un plan) est une droite (resp. un plan) qui lui est parallèle.
  5. Toute homothétie de rapport non nul conserve :
    • le parallélisme entre droites et plans ;
    • le rapport des longueurs des segments ;
    • les amplitudes des angles ;
    • l'orthogonalité et la perpendicularité des droites et plans ;
    • le rapport des aires des figures, et le rapport des volumes des solides ;
  6. Toute homothétie de rapport $r$ non nul multiplie :
    • les périmètres des figures par $|r|$ ;
    • les aires des figures et des solides par $r^2$ ;
    • les volumes des solides par $|r^3|$.