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Composition d'homothéties

On peut composer deux homothéties si elles sont de même centre. Deux propriétés peuvent être établies :

  1. La composée de deux homothéties $h_{C,r}$ et $h_{C,r'}$ est une homothétie de même centre et dont le rapport est le produit des rapports des homothéties composées : $h_{C,r'r}$.
  2. Toute homothétie de centre $C$ et de rapport $r$ non nul admet une réciproque qui est une homothétie de centre $C$ et de rapport $\frac{1}{r}$.

La composition confère à l'ensemble des homothéties de rapport non nul une structure de groupe commutatif\index{groupe!commutatif}, puisqu'elle est :

  • interne et partout définie : $h_{C,r'} \circ h_{C,r} = h_{C,r'r}$ ;
  • commutative : $h_{C,r'} \circ h_{C,r} = h_{C,r'r} = h_{C,rr'} = h_{C,r} \circ h_{C,r'}$ ;
  • associative : $(h_{C,r''} \circ h_{C,r'}) \circ h_{C,r} = h_{C,r''} \circ (h_{C,r'} \circ h_{C,r})$ ;
  • d'élément neutre $h_{C,1}$ : $h_{C,r} \circ h_{C,1} = h_{C,r} = h_{C,1} \circ h_{C,r}$.