UKOnline

Polynôme

Un polynôme à coefficients réels en l'indéterminée $x$ est une expression de la forme :

$$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n,$$

où $n \in \mathbb{N}$ et $a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}$. Le degré du polynôme $P(x)$, noté $\deg P(x)$, est la valeur $n$ correspondant au plus grand exposant de $x$ devant lequel le coefficient n'est pas nul.

Deux polynômes à coefficients réels $A(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n$ et $B(x) = b_0 + b_1x + ... + b_mx^m$ en la même indéterminée $x$ sont égaux si et seulement si :

  1. $n = m$ (même degré) ;
  2. $\forall i : 0 \leq i \leq n$, on a $a_i = b_i$ (mêmes coefficients).

Division euclidienne

La division euclidienne du polynôme $A(x)$ par le polynôme $B(x)$ revient à déterminer le quotient $Q(x)$ et le reste $R(x)$ tels que :

$$A(x) = B(x) Q(x) + R(x) \qquad \textrm{avec } \deg R(x) < \deg B(x).$$

Le polynôme $A(x)$ est appelé dividende et le polynôme $B(x)$ est appelé diviseur. Une propriété immédiate de la division euclidienne lie le degré du dividende avec ceux du diviseur et quotient :

$$\deg A(x) = \deg B(x) + \deg Q(x).$$

Division par $x - a$

Si on se limite au cas des divisions euclidiennes par des polynômes de la forme $x - a$, le reste sera constant et on le note dès lors simplement par $r$. On obtient donc :

$$A(x) = (x - a) Q(x) + r.$$

Deux propriétés découlent de cette division euclidienne par $x - a$ :

  • le reste de la division euclidienne de $A(x)$ par $x - a$ est la valeur de $A(x)$ au point $a$ : $$A(a) = r ;$$
  • le polynôme $A(x)$ est divisible par $x - a$ lorsque $A(a)$ = 0.