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Matrice

Un tableau rectangulaire de la forme suivante où les $a_{ij}$ sont des réels est une matrice sur $\mathbb{R}$ :

$$A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right).$$

On la note en abrégé par $A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq m \textrm{ et } 1 \leq j \leq n}$, les $a_{ij}$ étant appelés termes de la matrice. Il s'agit d'une matrice de $m$ lignes et $n$ colonnes; elle est dite de genre $m \times n$.

Les lignes sont les $n$-uples horizontaux notés $L_1, ..., L_m$ et les colonnes sont les $m$-uples verticaux notés $C_1, ..., C_n$. Une rangée est soit une ligne, soit une colonne.

Propriété

Étant données deux matrices de même genre, on définit les termes correspondants comme étant ceux situés à l'intersection de la même ligne et de la même colonne. Deux matrices sur $\mathbb{R}$ sont égales si elles ont le même genre et que les termes correspondants sont égaux.

Une matrice est carrée lorsque $m = n$, et elle est dire d'ordre $n$. Voici quelques définitions et propriétés sur les matrices carrées :

  1. les termes $a_{ii}$ sont appelés termes de la diagonale principale; ceux de l'autre étant les termes de la diagonale secondaire ;
  2. une matrice carrée est dite triangulaire si tous les termes situés d'un même côté de la diagonale principale sont nuls ;
  3. la matrice carrée dont tous les termes valent $0$ à l'exception de ceux de la diagonale principale est appelée matrice unité d'ordre $n$ et elle est notée $I_n$.

Opérations

Voici plusieurs opérations que l'on peut effectuer sur des matrices :

  1. la transposée d'une matrice $A$ de genre $m \times n$ sur $\mathbb{R}$ est la matrice de genre $n \times m$ sur $\mathbb{R}$ obtenue en prenant pour lignes les colonnes correspondantes de $A$; on la note $A^t$ ;
  2. le produit d'une matrice par un réel est la matrice obtenue en multipliant chaque terme de la matrice par ce réel ;
  3. la somme (resp. la différence) de deux matrices de mêmes genres est la matrice obtenue en additionnant (resp. soustrayant) les termes correspondants de la seconde matrice à ceux de la première ;
  4. le produit de la matrice $A$ de genre $m \times n$ par la matrice $B$ de genre $n \times p$, est une matrice $C$ de genre $m \times p$ telle que chaque élément $c_{ij}$ soit la somme des produits termes à termes de la $i$e ligne de $A$ par la $j$e colonne de $B$.

Deux propriétés peuvent être définies sur ces opérations :

  1. Pour autant que les sommes et produits puissent s'effectuer, on a, quelles que soient les matrices $A$, $B$ et $C$ :
    • $A (B C) = (A B) C$ ;
    • $A I = I A = A$ ;
    • $A (B + C) = AB + AC$ ;
    • $(A + B) C = AC + BC$.
  2. Même si les deux produits ont un sens, en général :
    • $A B \neq B A$ ;
    • $A B = A C$ ne signifie pas que $B = C$.