Inverse
Une matrice carrée $A$ est régulière si son déterminant est non nul. Dans le cas contraire, elle est dite singulière.
Voici deux définitions associées à un terme d'une matrice carrée :
- Le mineur du terme $a_{ij}$ d'une matrice carrée $A$ est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la $i$e ligne et $j$e colonne de la matrice $A$; on le note $M^{ij}$.
- Le cofacteur du terme $a_{ij}$ de la matrice carrée $A$ est le produit du mineur $M^{ij}$ par le facteur $(-1)^{i + j}$; on le note $A^{ij}$.
Sur base du cofacteur, on définit l'adjointe d'une matrice carrée $A$ comme étant la transposée de la matrice obtenue en remplaçant dans $A$ chaque terme par son cofacteur; on la note $\textrm{adj}~A$.
L'inverse d'une matrice carrée $A$ est une matrice carrée, de même genre que $A$, notée $A^{-1}$, qui est telle que :
$$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.$$Les matrices $A$ et $A^{-1}$ sont des matrices inverses. Si $A^{-1}$ existe, la matrice $A$ est dite inversible. Les propriétés suivantes permettent de calculer l'inverse d'une matrice :
- Si une matrice carrée est inversible, son inverse est unique.
- Pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $n$, $$A \cdot \textrm{adj}~A = \textrm{adj}~A \cdot A = \det A \cdot I_n.$$
- Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est régulière. En particulier : $$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \textrm{adj}~A.$$