Exponentielle quelconque
Toute fonction $f_a : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto a^x$ pour laquelle $a$ est un réel strictement positif, distinct de $1$, se prolonge de façon unique en une fonction $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto a^x$ telle que :
- $a^{x + y} = a^xa^y$ et $(a^x)^y = a^{xy}$ pour tout réels $x$ et $y$ ;
- la fonction est dérivable en tout réel.
Toute fonction exponentielle est continue en tout réel. Lorsque $a$ est un réel strictement positif, distinct de $1$, cette fonction porte le nom de fonction exponentielle de base $a$, et on la note $\exp_a$ avec $\exp_a(x) = a^x.$
Voici plusieurs propriétés de la fonction exponentielle :
- La dérivée de toute fonction exponentielle en est un multiple : $$(\exp_a x)' = k \exp_a x.$$
- La fonction $\exp_a$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) lorsque $k > 0$ (resp. $k < 0$).
-
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \exp_a x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \exp_a x = +\infty$ lorsque $a > 1$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \exp_a x = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \exp_a x = 0$ lorsque $0 < a < 1$. - La fonction $\exp_a$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) lorsque $a > 1$ (resp. $0 < a < 1$).
- Le graphe cartésien de la fonction $\exp_a$ comprend le point $(0, 1)$.
-
$\exp_a x = \exp_a y \iff x = y$ ;
$\exp_a x < \exp_a y \iff x < y$, lorsque $a > 1$ ;
$\exp_a x < \exp_a y \iff x > y$, lorsque $0 < a < 1$.