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Base népérienne

Une base particulière est le nombre $e$, appelé le nombre d'Euler. La fonction exponentielle naturelle ou népérienne est celle de base $e$, et on la note $\exp$ :

$$\exp_e x = e^x \qquad\textrm{et}\qquad (e^x)' = e^x.$$

La fonction logarithme népérien est celle de base $e$, et on la note $\ln$ :

$$\log_e x = \ln x \qquad\textrm{et}\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}.$$

Voici plusieurs propriétés sur ces deux fonctions :

  1. La fonction exponentielle népérienne est dérivable et continue en tout réel, et strictement croissante. De plus : $$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad\textrm{et}\qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.$$
  2. $\displaystyle e = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.$
  3. La fonction logarithme népérien est dérivable et continue en tout réel, et strictement croissante. De plus : $$\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty \qquad\textrm{et}\qquad \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.$$
  4. Pour tout réel $x$, $\ln e^x = x$. Ainsi, $\ln e = 1$ et $\ln$ est donc la réciproque de $\exp$.
  5. $e^x = e^y \iff x = y$ ;
    $e^x < e^y \iff x < y$ ;
    $\ln x = \ln y \iff x = y$ ;
    $\ln x < \ln y \iff x < y$.