Relation entre logarithme et exponentielle
Puisque $\log_a$ est la réciproque de $\exp_a$, on a :
$$y = \log_a x \iff a^y = x.$$Voici trois propriétés supplémentaires par rapport à celles qu'on a déjà vues précédemment :
- $\displaystyle \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ ;
- $\log_a x^y = y \log_a x$ ;
- $a^{\log_a x} = x$.
On peut établir le lien suivant entre des logarithmes de bases différentes, si $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs distincts de $1$ :
$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a},$$en particulier :
$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}, \qquad \log_a x = \frac{\log x}{\log a}, \qquad \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.$$Enfin, si $a$ est un réel strictement positif distinct de $1$, alors :
- pour tout réel strictement positif $x$ : $$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a},$$
- pour tout réel $x$ : $$(a^x)' = a^x \ln a.$$