Logarithme quelconque
Il existe une fonction $f : \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto f(x)$ telle que :
- $f(xy) = f(x) + f(y)$ pour tout réels strictement positifs $x$ et $y$ ;
- la fonction est dérivable en tout réel strictement positif.
Toute fonction logarithme est continue en tout réel. Deux propriétés sont satisfaites par ces fonctions :
- Tout multiple réel non nul d'une fonction logarithme est une fonction logarithme.
- Pour chaque fonction logarithme, il existe un réel strictement positif distinct de $1$ dont l'image est $1$.
Soit $a$ le réel strictement positif et distinct de $1$ dont l'image est $1$ par la fonction logarithme, alors celle-ci porte le nom de fonction logarithme de base $a$, on a la note $\log_a$. On a alors $\log_a a = 1$ et également $\log_a rs = \log_a r + \log_a s$. Si $a = 10$, la fonction s'appelle fonction logarithme décimal et on la note $\log$.
Voici plusieurs propriétés de la fonction logarithme :
- Le graphe cartésien de la fonction $\log_a$ comprend le point $(1, 0)$.
- La dérivée de toute fonction logarithme est un multiple de $1 /x$ : $$(\log_a x)' = c \cdot \frac{1}{x}.$$
- La fonction $\log_a$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si $c > 0$ (resp. $c < 0$).
- Pour tout réel $x$ : $$\log_a a^x = x.$$
- Le logarithme de base $a$ est la réciproque de l'exponentielle de base~$a$. Le graphe cartésien de $\log_a$ est le symétrique de celui de $\exp_a$ par rapport à la première bissectrice, dans un repère orthonormé du plan.
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$\displaystyle \lim_{x \to 0} \log_a x = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty$, lorsque $a > 1$ ;
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \log_a x = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty$, lorsque $0 < a < 1$. - La fonction $\log_a$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) lorsque $a > 1$ (resp. $0 < a < 1$).
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$\log_a x = \log_a y \iff x = y$ ;
$\log_a x < \log_a y \iff x < y$, lorsque $a > 1$ ;
$\log_a x < \log_a y \iff x > y$, lorsque $0 < a < 1$.