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Cercle et nombre trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle centré à l'origine du repère, de rayon unité et orienté positivement dans le sens anti-horloger. Tout point $P$ du cercle détermine un unique angle orienté $\widehat{XOP}$, et inversement. Enfin, les axes du repère coupent le cercle en quatre quadrants numérotés de $I$ à $IV$ :

Cercle trigonométrique

Nombre trigonométrique

À chaque angle $\alpha$ dans le cercle trigonométrique est associé plusieurs nombres trigonométriques. Le sinus et le cosinus, respectivement notés $\sin\alpha$ et $\cos\alpha$, correspondent respectivement à l'ordonnée et à l'abscisse du point $P$ défini par l'angle. La tangente et la cotangente sont définis comme des rapports entre le sinus et le cosinus :

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \textrm{ et } \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$
Sinus et cosinus

Ces nombres trigonométriques jouissent de plusieurs propriétés. Tout d'abord, concernant le sinus et le cosinus :

  1. Tout angle orienté possède un sinus et un cosinus.
  2. $-1 \leq \sin\alpha \leq 1$ et $-1 \leq \cos\alpha \leq 1$.
  3. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Concernant la tangente et la cotangente, on a les propriétés suivantes, pour $k \in \mathbb{Z}$ :

  1. La tangente n'existe que si $\cos\alpha \neq 0$, c'est-à-dire $\alpha \neq \pi / 2 + k\pi$.
  2. La cotangente n'existe que si $\sin\alpha \neq 0$, c'est-à-dire $\alpha \neq k\pi$.

Le signe d'un nombre trigonométrique dépend du quadrant dans lequel l'angle se situe. Ces signes sont repris dans le tableau suivant :

I II III IV
Sinus + - - +
Cosinus + + - -
Tangente + - + -
Cotangente + - + -

Autre nombre trigonométrique

Deux autres nombres trigonométriques peuvent être dérivés à partir du sinus et du cosinus. La sécante et la cosécante sont définis comme suit :

$$\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} \textrm{ et } \csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}.$$

Comme pour la tangente et cotangente, ces deux nombres trigonométriques sont sujets à des conditions d'existence sur $\alpha$.

Nombre trigonométrique pour des angles particuliers

Le tableau suivant reprend les valeurs des principaux nombres trigonométriques pour des valeurs particulières d'angle :

$0 \;(0^\circ)$ $\frac{\pi}{6} \;(30^\circ)$ $\frac{\pi}{4} \;(45^\circ)$ $\frac{\pi}{3} \;(60^\circ)$ $\frac{\pi}{2} \;(90^\circ)$
Sinus $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
Cosinus $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$
Tangente $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$
Cotangente $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$