Angle associé
On peut associer à un angle du cercle trigonométriques d'autres angles, appelés angles associés :
- les angles $\alpha$ et $\pi - \alpha$ sont appelés angles supplémentaires ;
- les angles $\alpha$ et $-\alpha$ sont appelés angles opposés ;
- les angles $\alpha$ et $\pi + \alpha$ sont appelés angles antisupplémentaires ;
- les angles $\alpha$ et $\pi /2 - \alpha$ sont appelés angles complémentaires.
Soit l'angle $\alpha$ défini par $M$ sur les figures suivantes. L'angle supplémentaire est défini par $N$, l'opposé par $Q$, l'antisupplémentaire par $P$ et enfin le complémentaire par $R$.
Comme on peut le voir sur les figures, il y a des liens entre les sinus et cosinus des angles associés :
- $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ et $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ ;
- $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ et $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ ;
- $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ et $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ ;
- $\sin\left(\pi / 2 - \alpha\right) = \cos\alpha$ et $\cos\left(\pi / 2 - \alpha\right) = \sin\alpha$.
Par calcul, on déduit immédiatement les relations suivantes pour la tangente et la cotangente :
- $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$ et $\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha$ ;
- $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$ et $\cot(-\alpha) = -\cot\alpha$ ;
- $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$ et $\cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha$ ;
- $\tan\left(\pi / 2 - \alpha\right) = \cot\alpha$ et $\cot\left(\pi / 2 - \alpha\right) = \tan\alpha$.